サイトスワップ掲示板

群におけるサイトスワップ

No.38: 2011-10-11(火) 13:39:25
投稿者: いのけん
[SSSa]で初参加させてもらいまして何かアイデアを言った方がいいのかなと思いまして、ここで1つ紹介しようと思います。

Re: 群におけるサイトスワップ

No.39: 2011-10-11(火) 14:04:42
投稿者: いのけん
サイトスワップを一般の群に拡張します。

Gを+を演算とする半群とする。このとき

写像f:G→GがG上サイトスワップ
⇔g:G→Gをg(x) = f(x) + x とするとgは単射

§(G)={f:G→G|fはG上サイトスワップ}
と定義します。

このとき
G=Z/nZとするとfは周期nのサイトスワップとなり
(f(x)=aを時刻xにおける高さとする。ただし同値類つまりmod nが等しいものは同一視する。)

G=Zとすると無限ジャグリング可能数列となり
(上とほぼ同様。)

G=Z/nZ×Zとするとn人パッシング無限ジャグリング可能数列を表すことができる。(各人をそれぞれ1・・・nと名前を付け、f(x,y)=(a,b)はxさんが時刻yでx+aさんに高さbでパスする。)

という感じです。

Re^2: 群におけるサイトスワップ

No.40: 2011-10-11(火) 14:24:09
投稿者: いのけん
このとき以下の定理が成り立つ。

G、Hを群とする。

GとHが同型 ⇒ |§(G)|=|§(H)|

証明はΦ:G→Hを同型写像として
Ψ:§(G)→§(H)を
Ψ(f)=Φ○f○Φ^-1とすると得られる。

また中国剰余定理によりnとmが互いの素ならば
Z/nZ×Z/mZとZ/(nm)Zは同型なので

周期nのm人パッシングのサイトスワップはnとmが互いに素のとき、周期nmのサイトスワップで一意的に表現できる。

Re^3: 群におけるサイトスワップ

No.41: 2011-10-11(火) 14:32:29
投稿者: いのけん
既出かもしれませんが以上です。

サイトスワップの実数化やパッシング研究に役立てばうれしいです。

※定義で全単射にしないのはG=N∪{0}のときを考慮したからです。

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